Principios Álgebra, Cálculo y más

El día de hoy nos pregunta Marco Antonio Flores Villeda como resolver la siguiente Ecuación Diferencial mediante Factor Integrante.

A continuación la respuesta:

\begin{gathered} {\text{Dada la Ecuación Diferencial:}} \\ 3\frac{{dy}}{{dx}} - xy = 5x \\ {\text{Multiplicamos por dx para transformarla:}} \\ 3dy - xydx = 5xdx \\ {\text{Factorizamos dx}} \\ 3dy + ( - 5x - xy)dx = 0 \\ {\text{Reacomodando para que se vea de una forma má s familiar:}} \\ ( - 5x - xy)dx + 3dy = 0 \\ {\text{Sea:}} \\ M = ( - 5x - xy) \\ N = 3 \\ {\text{Para que sea una ecuación diferencial exacta se debe cumplir:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Desarrollamos las expresiones para ver si se verifica lo anterior:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial ( - 5x - xy)}}{{\partial y}} = - x \\ \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial (3)}}{{\partial x}} = 0 \\ {\text{Por lo tanto concluimos que:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} \ne \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Lo cual hace que sea necesario encontrar un factor integrante}} \\ {\text{para resolver la ecuación diferencial y volverla exacta}}{\text{.}} \\ {\text{1}}{\text{. - Tratar de encontrar el factor integrante en función de x [}}\mu (x){\text{]}} \\ {\text{Procedemos usando la siguiente ecuación:}} \\ {\text{g(x) = }}\frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{N} = \frac{{ - x - 0}}{3} = - \frac{1}{3}x \\ {\text{Obtenemos el factor integrante de la siguiente manera:}} \\ \mu (x) = {e^{\int {{\text{g(x)}}dx} }} = {e^{\int { - \frac{1}{3}xdx} }} = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}{\text{ }}[{\text{La integral queda como ejercicio para ti}}] \\ \therefore \mu (x) = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}} \\ \end{gathered} \[\begin{gathered} {\text{Antes de empezar a hacer cá lculos verificamos que ese}} \\ {\text{factor integrante haga exacta a la ecuación diferencial:}} \\ \mu (x)Mdx + \mu (x)Ndy = 0 \\ {\text{Ahora nuestra nueva M y N será M o N por factor integrante respectivamente}} \\ {\text{como se muestra enseguida:}} \\ {\text{M = }}\mu (x)M = \left( {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right)\left( { - 5x - xy} \right) \\ N = \mu (x)N = 3\left( {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right) \\ {\text{Ahora verificamos que se cumple lo siguiente:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( { - 5x - xy} \right)} \right)}}{{\partial y}} = - x{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}} \\ \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \left( {3{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right)}}{{\partial x}} = 3{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( { - \frac{1}{3}x} \right) = - x{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}} \\ {\text{Concluimos que:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Por lo tanto }}\mu (x){\text{ es factor integrante :)}} \\ {\text{2}}{\text{. - Procedemos a resolver la ecuación diferencial exacta:}} \\ {\text{Usamos las siguientes ecuaciones:}} \\ F(x,y) = \int {Mdx = \int {\left[ {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( { - 5x - xy} \right)} \right]} } dx + g(y) = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( {15 + 3y} \right) + g(y) \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} F(x,y) = \int {Ndy = \int {\left[ {3{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right]} } + g(x) = 3\left[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - \frac{1}{6}} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{n!\left( {2n + 1} \right)}}} } \right] + g(x) \\ {\text{La segunda integral se resolviómediante expansión por series de }} \\ {\text{potencias lo cual es bastante complejo para principiantes}}{\text{.}} \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} {\text{Por lo tanto:}} \\ F(x,y) = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( {15 + 3y} \right) + 3\left[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - \frac{1}{6}} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{n!\left( {2n + 1} \right)}}} } \right] = c \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} {\text{Otra forma de resolver la Ecuación Diferencial}} \\ {\text{1}}{\text{. - Ahora procedemos a buscar el factor integrante en función de y [}}\mu (y){\text{]}} \\ {\text{Usamos la ecuación:}} \\ {\text{g(y) = }}\frac{{\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}}}{M} = \frac{{0 - \left( { - x} \right)}}{{ - 5x - xy}} = \frac{x}{{ - 5x - xy}} = \frac{x}{{x\left( { - 5 - y} \right)}} = \frac{1}{{\left( { - 5 - y} \right)}} = - \frac{1}{{\left( {5 + y} \right)}} \\ {\text{g(y) = }} - \frac{1}{{y + 5}} \\ {\text{Obtenemos el factor integrante de la siguiente manera:}} \\ \mu (y) = {e^{\int {{\text{g(y)}}dy} }} = {e^{\int {\left( { - \frac{1}{{y + 5}}} \right)dy} }}{\text{ = }}{e^{ - \ln (y + 5)}}{\text{ = }}{e^{\ln {{(y + 5)}^{ - 1}}}}{\text{ = }}\frac{1}{{y + 5}}{\text{ }}[{\text{La integral queda como ejercicio para ti}}] \\ \therefore \mu (y) = \frac{1}{{y + 5}} \\ {\text{Ahora nuestra nueva M y N será M o N por factor integrante respectivamente}} \\ {\text{como se muestra enseguida:}} \\ {\text{M = }}\mu (y)M = \left( {\frac{1}{{y + 5}}} \right)\left( { - 5x - xy} \right) = - \frac{{x\left( {5 + y} \right)}}{{y + 5}} = - x \\ N = \mu (y)N = \left( {\frac{1}{{y + 5}}} \right)\left( 3 \right) = \frac{3}{{y + 5}} \\ {\text{Ahora verificamos que se cumple lo siguiente:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( { - x} \right)}}{{\partial y}} = 0 \\ \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \left( {\frac{3}{{y + 5}}} \right)}}{{\partial x}} = 0 \\ {\text{Concluimos que:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Por lo tanto }}\mu (y){\text{ es factor integrante}}{\text{.}} \\ {\text{2}}{\text{. - Procedemos a resolver la ecuación diferencial exacta:}} \\ {\text{Usamos las siguientes ecuaciones:}} \\ F(x,y) = \int {Mdx = \int { - x} } dx + g(y) = - \frac{{{x^2}}}{2} + g(y) \\ F(x,y) = \int {Ndy = \int {\frac{3}{{y + 5}}} } dy + g(x) = 3\ln (y + 5) + g(x) \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} {\text{Por lo tanto:}} \\ F(x,y) = - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\ln (y + 5) = c \\ \end{gathered} \]

Todos en algún momento deseamos que alguien nos ayudara con nuestras materias para no reprobarlas, en la Universidad es muy común reprobar por no tener las bases suficientes, en ocasiones no sabemos que quizá sólo necesitabamos un pequeño impulso...
Pensando en esto el equipo de Evalúa Tu Horario, MRA FQ UNAM, Asesoría Universitaria et al. por primera vez en México, propone este sistema de enseñanza para aprender y aprobar un curso en el menor tiempo posible, claro, suena imposible, sin embargo para estos emprendedores nada es imposible.

Mantente pendiente, esta puede ser la diferencia entre arrastrar una materia o ser regular, seguir debiendo una materia o pasar un extra con una calificación excepcional!!!