Resolución de Ecuación Diferencial por Factor Integrante

El día de hoy nos pregunta Marco Antonio Flores Villeda como resolver la siguiente Ecuación Diferencial mediante Factor Integrante.

A continuación la respuesta:

\begin{gathered} {\text{Dada la Ecuación Diferencial:}} \\ 3\frac{{dy}}{{dx}} - xy = 5x \\ {\text{Multiplicamos por dx para transformarla:}} \\ 3dy - xydx = 5xdx \\ {\text{Factorizamos dx}} \\ 3dy + ( - 5x - xy)dx = 0 \\ {\text{Reacomodando para que se vea de una forma má s familiar:}} \\ ( - 5x - xy)dx + 3dy = 0 \\ {\text{Sea:}} \\ M = ( - 5x - xy) \\ N = 3 \\ {\text{Para que sea una ecuación diferencial exacta se debe cumplir:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Desarrollamos las expresiones para ver si se verifica lo anterior:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial ( - 5x - xy)}}{{\partial y}} = - x \\ \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial (3)}}{{\partial x}} = 0 \\ {\text{Por lo tanto concluimos que:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} \ne \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Lo cual hace que sea necesario encontrar un factor integrante}} \\ {\text{para resolver la ecuación diferencial y volverla exacta}}{\text{.}} \\ {\text{1}}{\text{. - Tratar de encontrar el factor integrante en función de x [}}\mu (x){\text{]}} \\ {\text{Procedemos usando la siguiente ecuación:}} \\ {\text{g(x) = }}\frac{{\frac{{\partial M}}{{\partial y}} - \frac{{\partial N}}{{\partial x}}}}{N} = \frac{{ - x - 0}}{3} = - \frac{1}{3}x \\ {\text{Obtenemos el factor integrante de la siguiente manera:}} \\ \mu (x) = {e^{\int {{\text{g(x)}}dx} }} = {e^{\int { - \frac{1}{3}xdx} }} = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}{\text{ }}[{\text{La integral queda como ejercicio para ti}}] \\ \therefore \mu (x) = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}} \\ \end{gathered}  \[\begin{gathered} {\text{Antes de empezar a hacer cá lculos verificamos que ese}} \\ {\text{factor integrante haga exacta a la ecuación diferencial:}} \\ \mu (x)Mdx + \mu (x)Ndy = 0 \\ {\text{Ahora nuestra nueva M y N será M o N por factor integrante respectivamente}} \\ {\text{como se muestra enseguida:}} \\ {\text{M = }}\mu (x)M = \left( {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right)\left( { - 5x - xy} \right) \\ N = \mu (x)N = 3\left( {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right) \\ {\text{Ahora verificamos que se cumple lo siguiente:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( { - 5x - xy} \right)} \right)}}{{\partial y}} = - x{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}} \\ \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \left( {3{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right)}}{{\partial x}} = 3{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( { - \frac{1}{3}x} \right) = - x{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}} \\ {\text{Concluimos que:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Por lo tanto }}\mu (x){\text{ es factor integrante :)}} \\ {\text{2}}{\text{. - Procedemos a resolver la ecuación diferencial exacta:}} \\ {\text{Usamos las siguientes ecuaciones:}} \\ F(x,y) = \int {Mdx = \int {\left[ {{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( { - 5x - xy} \right)} \right]} } dx + g(y) = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( {15 + 3y} \right) + g(y) \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} F(x,y) = \int {Ndy = \int {\left[ {3{e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}} \right]} } + g(x) = 3\left[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - \frac{1}{6}} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{n!\left( {2n + 1} \right)}}} } \right] + g(x) \\ {\text{La segunda integral se resolviómediante expansión por series de }} \\ {\text{potencias lo cual es bastante complejo para principiantes}}{\text{.}} \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} {\text{Por lo tanto:}} \\ F(x,y) = {e^{ - \frac{1}{6}{x^2}}}\left( {15 + 3y} \right) + 3\left[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - \frac{1}{6}} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{n!\left( {2n + 1} \right)}}} } \right] = c \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} {\text{Otra forma de resolver la Ecuación Diferencial}} \\ {\text{1}}{\text{. - Ahora procedemos a buscar el factor integrante en función de y [}}\mu (y){\text{]}} \\ {\text{Usamos la ecuación:}} \\ {\text{g(y) = }}\frac{{\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}}}{M} = \frac{{0 - \left( { - x} \right)}}{{ - 5x - xy}} = \frac{x}{{ - 5x - xy}} = \frac{x}{{x\left( { - 5 - y} \right)}} = \frac{1}{{\left( { - 5 - y} \right)}} = - \frac{1}{{\left( {5 + y} \right)}} \\ {\text{g(y) = }} - \frac{1}{{y + 5}} \\ {\text{Obtenemos el factor integrante de la siguiente manera:}} \\ \mu (y) = {e^{\int {{\text{g(y)}}dy} }} = {e^{\int {\left( { - \frac{1}{{y + 5}}} \right)dy} }}{\text{ = }}{e^{ - \ln (y + 5)}}{\text{ = }}{e^{\ln {{(y + 5)}^{ - 1}}}}{\text{ = }}\frac{1}{{y + 5}}{\text{ }}[{\text{La integral queda como ejercicio para ti}}] \\ \therefore \mu (y) = \frac{1}{{y + 5}} \\ {\text{Ahora nuestra nueva M y N será M o N por factor integrante respectivamente}} \\ {\text{como se muestra enseguida:}} \\ {\text{M = }}\mu (y)M = \left( {\frac{1}{{y + 5}}} \right)\left( { - 5x - xy} \right) = - \frac{{x\left( {5 + y} \right)}}{{y + 5}} = - x \\ N = \mu (y)N = \left( {\frac{1}{{y + 5}}} \right)\left( 3 \right) = \frac{3}{{y + 5}} \\ {\text{Ahora verificamos que se cumple lo siguiente:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( { - x} \right)}}{{\partial y}} = 0 \\ \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \left( {\frac{3}{{y + 5}}} \right)}}{{\partial x}} = 0 \\ {\text{Concluimos que:}} \\ \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \\ {\text{Por lo tanto }}\mu (y){\text{ es factor integrante}}{\text{.}} \\ {\text{2}}{\text{. - Procedemos a resolver la ecuación diferencial exacta:}} \\ {\text{Usamos las siguientes ecuaciones:}} \\ F(x,y) = \int {Mdx = \int { - x} } dx + g(y) = - \frac{{{x^2}}}{2} + g(y) \\ F(x,y) = \int {Ndy = \int {\frac{3}{{y + 5}}} } dy + g(x) = 3\ln (y + 5) + g(x) \\ \end{gathered} \] \[\begin{gathered} {\text{Por lo tanto:}} \\ F(x,y) = - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\ln (y + 5) = c \\ \end{gathered} \]